Параллельные прямые
1. Признаки параллельности прямых
1.1 Определение параллельных прямых
Определение
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются
Параллельность прямых a и b обозначают так: a || b
Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 1, а отрезки АВ и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки MN и CD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 1, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 1, в).
Рис. 1
Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 2). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 2 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Рис. 2
1.2 Три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
доказательство
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
доказательство
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
доказательство
1.3 Практические способы построения параллельных прямых
Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 3. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 3 буквами α и β, равны.
Рис. 3
2. Аксиома параллельных прямых
2.1 Об аксиомах геометрии
Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами.
Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.
Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился ещё в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида. Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.
2.2 Аксиома параллельных прямых
Аксиома
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
Следствие 1
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Следствие 2
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
2.3 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением — вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы. Рассмотрим теоремы, обратные трём теоремам п. 1.2.
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
доказательство
Следствие
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
доказательство
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
доказательство
